Basic Facts on Hyperbolic Geometry and Its Applications

Základné fakty o hyperbolickej geometrii a jej aplikáciách

Pavel Chalmovianský
Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky, Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzita Komenského
Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: pavel.chalmovianskyfmph.uniba.sk

Abstrakt.  Klasickou témou v geometrii je priestor Rⁿ s nesingulárnou kvadratickou formou, ktorej signatúra je (k; n – k) so zameranim na prípad k = 1. Opisujú sa základné vlastnosti vzhľadom na niektoré aplikácie. Načrtávajú sa významné myšlienky umožňujúce štrukturovať grupu automor-fizmov takéhoto priestoru. Študuje sa definícia hyperbolického uhla, metriky v hyperbolickej rovine a ich vzťah k dvojpomeru štvorice bodov. Ukážeme dva modely hyperbolickej roviny. Tieto pojmy sú dnes široko používané vo viacerých oblastiach výskumu ako špeciálna teória relativity, klasická a moderná hyprbolická geometria, geometrické modelovanie.

Abstract.  We consider a classical topic in geometry – the space Rⁿ and its associated non-singular quadratic form with signature (n – p, p)  focusing on the case p = 1. The description of basic properties with respect to several applications is given. We sketch important ideas behind the structure of the automorphisms of such space. The definition of hyperbolic angle, metric in hyperbolic plane and their relations to cross-ratio is presented. Two models of hyperbolic geometry are built. These notions are nowadays widely used in various fields such as special theory of relativity, classical and modern hyperbolic geometry, geometric modeling.

Kľúčové slová:  Minkowského priestor, Poincarého grupa, hyperbolická geometria, vizualizácia.

Key words:  Minkowski space, Poincaré group, hyperbolic geometry, visualization.

Späť

Linear Weingarten Translational Surfaces in a Simply Isotropic Space

Lineárne Weingartenove translačné plochy v jednoducho izotropickom priestore

Željka Milin - Šipuš

Department of Mathematics, Faculty of Science University of Zagreb
Bijenička cesta 30, 10 000 Zagreb, Croatia
e-mail: sipusmath.hr

Abstrakt.  V článku opisujeme, až na kongruencie, lineárne Weingartenove translačné plochy v prostredí špeciálneho priestoru, ktorým je jednoducho izotropický priestor. Sú to plochy, ktorých izotropická Gaussova krivosť K a stredná krivosť H spĺňajú lineárnu podmienku 2 a H + b K = c..

Abstract.  In this paper we describe, up to a congruence, linear Weingarten translation surfaces in the special ambient space – a simply isotropic space. These are translation surfaces whose isotropic Gaussian K and mean H curvatures satisfy a linear relationship 2 a H + b K = c..

Kľúčové slová:  jednoducho izotropický priestor, translačné plochy, Weingartenova plocha.

Key words:  simply isotropic space, translation surface, Weingarten surface.

Späť

Monomiálne krivky a množinové úplné prieniky

Monomial Curves and Set Complete Intersections

Štefan Solčan

Katedra algebry, geometrie a didaktiky matematiky, Fakulty matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského
Mlynská dolina, 842 48 Bratislava, SR
e-mail: solcanfmph.uniba.sk

Abstrakt.  V článku chceme poukázať na úlohu monomiálnych kriviek pri testovaní hypotéz v teórii množinových úplných prienikov a na niektoré novšie výsledky v tejto oblasti.

Abstract.  In this note we wish to point at the role of monomial curves in testing some hypothesis in the theory of set-theoretic complete intersections and some new results in this domain.

Kľúčové slová:  algebrická krivka, množinový úplný prienik, monomiálna krivka, numerická pologrupa.

Key words:  algebraic curve, set-theoretic complete intersection, monomial curve, numerical semigroup.

Späť

Modelovanie vybraných plôch technickej praxe

Modelling Selected Surfaces of Technical Practice

¹Dagmar Szarková, ²Ján Szarka

¹Ústav matematiky a fyziky Strojnícka fakulta, STU v Bratislave
Nám. slobody 17, 812 31 Bratislava, SR
e-mail: dagmar.szarkova stuba.sk
²Fakulta matematiky, fyziky a informatiky Univerzity Komenského
Mlynská dolina, 84248 Bratislava, SR
e-mail: jan.szarkafmph.uniba.sk

Abstrakt.  V práci je opísaná jedna z možných metód modelovania plôch, a to vybraných plôch technickej praxe. Plocha je generovaná riadiacou krivkou K, ktorá v procese pohybu repéra F(v) po krivke L môže a nemusí modifikovať svoj tvar. Opísaná metóda modelovania plôch je vhodná pre vizualizáciu – dynamickú tvorbu plôch, čo je užitočné pri výučbe.

Abstract.  This paper describes one of the possible methods for modelling surfaces, selected surfaces of technical practice in particular. The surface is generated by generating curve K, which may or may not modify its shape in the process of frame F(v) movement along a curve L. Described method of modelling surfaces is suitable for visualization – dynamic generation of surfaces, which is useful in education.

Kľúčové slová:  pohyblivý repér, jednoduchá repérová plocha, afinne zovšeobecnená repérová plocha.

Key words:  moving frame, simple frame surface, affinity generalized frame surface.

Späť