Minimalizácia objemu kvádra pre uloženie troch kociek v dimenzii 4

Minimization of the Container for Packing of Three Cubes in Dimension 4

¹Vojtech Bálint, ²Peter Adamko

Katedra kvantitatívnych metód a hospodárskej informatiky
Fakulta prevádzky a ekonomiky dopravy a spojov Žilinská Univerzita
Univerzitná 1, 010 26 Žilina, SR
¹e-mail: Vojtech.Balintfpedas.uniza.sk
²e-mail: Peter.Adamkofpedas.uniza.sk

Abstrakt.  Príspevok nadväzuje na výsledky Pavla Novotného v problematike najhustejšieho ukladania kociek do kvádra. Okrem krátkeho historického prehľadu prináša dva nové výsledky: minimálny objem kvádra, do ktorého je možné uložiť akýkoľvek dvojalebo trojprvkový systém 4-rozmerných kociek s celkovým objemom 1.

Abstract.  This contribution links on the results of Pavel Novotný on the problems of the densest packing of cubes into the box. Besides short historical overview, it gives also two new results: the minimal volume of rectangular parallelepiped into which it is possible to pack any two or three 4-dimensional cubes with total volume 1.

Kľúčové slová:  extrém, ukladanie kociek

Key words:  extremum, packing of cubes

Späť

O istej kvadratickej biracionálnej korešpondencii v Pⁿ(k)

On a quadratic birational correspondence in Pⁿ(k)

Jan Čižmár

Astrová 16, 821 01 Bratislava, SR

Abstrakt.  V článku je opísaná biracionálna kvadratická korešpondencia T v n-rozmernom projektívnom priestore Pⁿ(k) (n ≥ 2) nad algebricky uzavretým poľom k charakteristiky 0, ktorá je definovaná nasledovne: V priestore Pⁿ(k) je daná regulárna nadkvadrika Q a bod O, ktorý s nadkvadrikou neinciduje. S ľubovoľným bodom (y)  Pⁿ(k) korešponduje každý bod (y´)  Pⁿ(k), ktorý má tieto vlastnosti:
a) Body O, (y), (y´) sú kolineárne;
b) Ak (¹r), (²r) sú priesečníky priamky O(y) s nadkvadrikou Q, dvojpomer ((¹r)(²r)(y)(y´) = , kde k,  0, 1, -1. Sú nájdené tieto množiny príslušné ku korešpondencii:
a) fundamentálna varieta;
b) množina všetkých iregulárnych bodov;
c) množina všetkých biregulárnych bodov;
d) homaloidný systém a jeho vlastnosti.

Abstract. The paper deals with a birational quadratic correspondence T in a n-dimensional projective space Pⁿ(k) (n ≥ 2) over an algebraically closed field k of the characteristic 0. The correspondence T is described as follows: In the space Pⁿ(k) a non-incident point O and a regular hyperquadric are given. A point (y´) Pⁿ(k) correspondents with an arbitrary point (y) Pⁿ(k) if
a) the points O, (y), (y´) are collinear;
b) if (1r), (2r) are the intersection points of the straight line O(y) with the hyperquadric Q then the cross-ratio ((¹r)(²r)(y)(y´) = , k, 0, 1, -1. The following sets are found:
a) the fundamental variety;
b) the set of all irregular points;
c) the set of all biregular points;
d) the homaloidal system and its properties.

Kľúčové slová:  n-rozmerný projektívny priestor Pⁿ(k) , regulárna nadkvadrika, biracionálna korešpondencia, fundamentálna varieta, množina iregulárnych bodov, množina biregulárnych bodov, racionálne zobrazenie, inverzné zobrazenie, systém homaloidov, štruktúrne vlastnosti objektov združených s korešpondenciou

Key words:  n-dimensional projective space Pⁿ(k), regular hyperquadric, birational correspondence, fundamental variety, the set of irregular points, the set of biregular points, rational map, inverse map, hyperquadric, homaloidal system, structural properties of objects

Späť

Anaglyfy a ich využitie vo vyučovaní geometrie

Anaglyphs and Their Usage in Teaching Geometry

¹Mária Kmeťová, ²Zuzana Vitézová

Katedra matematiky Fakulty prírodných vied Univerzity Konštantína Filozofa v Nitre
Tr. A. Hlinku 1, 949 74 Nitra, SR
¹e-mail: mkmetovaukf.sk
²e-mail: zuzana.vitezovaukf.sk

Abstrakt.  V príspevku by sme chceli poukázať na úlohu geometrie vo vyučovaní matematiky a na potrebu rozvoja priestorového geometrického myslenia. Priestorové videnie môže podporiť aj anaglyf, ktorý je ako nástroj zabudovaný aj do najnovšej verzie programu GeoGebra. Zaoberáme sa preto históriou anaglyfu a jeho uplatnením vo vede, umení a vyučovaní geometrie.

Abstract.  In this article, we highlight the role of geometry in the mathematics teaching, and the need for the development of spatial thinking. Good spatial orientation can be supported also by anaglyphs, which are built in as tool in the latest version of program GeoGebra. This is the reason, why we deal with history of anaglyph and its application in science, art, and teaching geometry.

Kľúčové slová:  anaglyf, dynamický geometrický program GeoGebra, vyučovanie geometrie

Key words:  anaglyph, dynamic geometric program GeoGebra, teaching geometry

Späť

Dva problémy z geometrie Jakoba Steinera

Two Problems from Geometry of Jakob Steiner

Svatopluk Zachariáš

Plzeň, ČR
e-mail: shjrkzseznam.cz

Abstrakt.  V článku se stručně pojednává o dvoch problémech, kterými sa zabýval geometr Jakob Steiner. Zajímavé aplikace umožňuje zejména Steinerova transformace, která je injektivním vnořením reálné projektivní roviny do 3D. Známá Steinerova plocha je představena jako spojitý obraz plochy kulové, přičemž jsou uvedeny společné parametrické rovnice pro Steinerovu i Boyovu plochu v závislosti na parametru.

Abstract.  Two problems studied by Jakob Steiner are briefly described in the paper. Interesting applications can be derived namely from Steiner transformation, which is an injective mapping of the real projective plane to the 3D. Wellknown Steiner surface is presented as image of sphere, while common parametric equations of both Steiner and Boy surfaces are introduced depending on specific parameters.

Kľúčové slová:  Steinerova plocha

Key words:  Steiner surface

Späť

Úvod do racionálnej trigonometrie a chromogeometrie

An Introduction to Rational Trigonometry and Chromogeometry

Norman J. Wildberger

School of Mathematics and Statistics UNSW
2052 Sydney, Australia
e-mail: n.wildbergeunsw.edu.au

Abstrakt.  Clánok je jednoduchým ilustratívnym úvodom do racionálnej trigonometrie a do chromogeometrie. Racionálna trigonometria je cisto algebrický prístup ku skúmaniu metrických vztahov v trojuholníkoch, pri ktorom sú hodnoty vzdialeností a velkosti uhlov, ktoré sú casto iracionálnymi císlami, zamenené novými kvantitami nazvanými „quadrance“ a „spread“. Chromogeometria je pozoruhodná trojnásobná symetria rovinnej geometrie, ktorá sa objavuje pri porovnávaní vztahov platných v euklidovskej (modrej) geometrii s ich ekvivalentami v dvoch relativistických geometriách (cervenej a zelenej). Otvára mnoho nových možností pre geometrické bádanie a motivuje nás pokracovat dalej v smere naznacenom v Kleinovom Erlangenskom programe.

Abstract.  This article provides a simple pictorial introduction to both rational trigonometry and chromogeometry. Rational trigonometry is a purely algebraic approach to the metrical study of triangles, replacing the generally irrational quantities of distance and angle with generally rational quantities called quadrance and spread. Chromogeometry is a remarkable three-fold symmetry in planar geometry that emerges from the meeting of Euclidean (blue) geometry with two relativistic geometries (red and green). It opens up many new directions for geometrical investigations, and motivates us to go beyond Klein’s Erlangen program.

Späť