Problémy globálnej variačnej geometrie

Problems of global variational geometry

Ján Brajerčík

Katedra fyziky, matematiky a techniky, Fakulta humanitných a prírodných vied
Prešovská univerzita v Prešove
ul. 17. novembra 1, 080 01 Prešov, Slovenská republika
e-mail:jan.brajercikunipo.sk

Abstrakt. Globálna variačná geometria je moderná matematická disciplína integrujúca poznatky viacerých oblastí matematiky. Zovšeobecňuje klasický variačný počet, pričom predmetom jej skúmania je geometrická štruktúra pozostávajúca z hladkej variety a diferenciálnej formy na nej definovanej. V tomto príspevku charakterizujeme základné pojmy globálnej variačnej geometrie. Tiež rozoberáme niektoré problémy riešené metódami globálnej variačnej geometrie.

Abstract. We introduce the global variational geometry as a modern mathematical discipline integrating the knowledge of many areas of mathematics. It generalizes classical calculus of variations, and its subject is a geometric structure consisting of a smooth manifold endowed with a differential form. In this contribution, basic concepts of the global variational geometry are characterized. We also discuss some problems solved by methods of the global variational geometry.

Kľúčové slová: globálna variačná geometria, variačný počet, fibrovaná varieta, jet, Lagrangián, Eulerove-Lagrangeove rovnice

Keywords: global variational geometry, calculus of variations, fibered manifold, jet, Lagrangian, Euler-Lagrange equations

Späť

Ekvivalencia viet sus a ssu v absolútnej rovine

The Equivalence of Side-Angle-Side and Side-Side-Angle in the Absolute Plane

John Donnelly

Department of Mathematical Sciences, University of Southern Indiana
8600 University Blvd, Evansville, IN 47712
Indiana, United States of America
e-mail:jrdonnellyusi.edu

Abstrakt. Tvrdenie o zhodnosti trojuholníkov, Veta ssu (strana-strana-uhol), nie je vo všeobecnosti kritériom pre dôkaz zhodnosti trojuholníkov. Pomocou kritéria o zhodnosti Veta sus (strana-uhol-strana) však možno dokázat niekolko tvrdení v geometrii trojuholníka vrátane Vety ssu. V tomto článku ukážeme, že aj opak je pravdivý. Konkrétne, ak predpokladáme platnosť tvrdení, ktoré zahŕňajú Vetu ssu, potom možno dokázať kritérium Veta sus ako ich dôsledok. V dôkazoch sa neuvádzajú žiadne predpoklady o eliptických alebo hyperbolických vlastnostiach rovnobežnosti.

Abstract. In general, Side-Side-Angle is not a criterion for congruence of triangles. However, one can use Side-Angle-Side to prove several statements in triangle geometry which involve Side-Side-Angle. We prove that the converse holds as well. Namely, we show that if we assume the statements which involve Side- Side-Angle, then we can prove Side-Angle- Side as a consequence of these assumptions. In these proofs, no assumptions about euclidean or hyperbolic parallel properties are made.

Kľúčové slová: ssu (strana-strana-uhol), trojuholník, súvislá absolútna rovina

Keywords: Side-Side-Angle, Triangle, Continuous Absolute Plane

Späť

Matematický taorista v Göttingene

A Mathematical Taorist in Göttingen

Johan Gielis

University of Antwerp, Department of Biosciences Engineering
Antwerp, B-2020, Belgium
e-mail:johan.gielisuantwerpen.be

Abstrakt. Matematické centrá,
kvitnú a blednú,
matematika samotná
nikdy nebude slúžiť twitteru.
Algebra, analýza a geometria,
Svätá Trojica,
božská podstata matematiky.
Vrátiť sa v čase ako matematický taorista.
Ustanoviť, čo je zakorenené v jazyku,
v aoristovi.

Abstract. Mathematical centers,
they bloom and they whither,
Mathematics itself
will never be servant to twitter.
Algebra, calculus & geometry,
A Holy Trinity
Mathematics’ own Divinity
Going back in time as a Mathematical Taorist
To establish it is rooted in language,
in the Aorist.

Kľúčové slová: dejiny matematiky, geometria, zovšeobecnené Möbiove-Listingove telesá, aorista

Keywords: history of mathematics, geometry, generalized Möbius-Listing bodies, aorist

Späť

Weberovské plochy s ohniskami a riadiacimi rovinami

Weberian Surfaces with Foci and Directorial Planes

Maja Petrović

Faculty of Transport and Traffic Engineering University of Belgrade
Vojvode Stepe 305, 11000 Belgrade, Serbia
e-mail: majapetsf.bg.ac.rs

Abstrakt. Predmetom tohto článku sú algebrické plochy nazývané Weberovské plochy, ktoré sú množinou všetkých bodov s konštantným súčtom vzdialeností od ohnísk a riadiacich rovín. Pre dva typy týchto plôch sú uvedené algebrické rovnice, ako aj ich grafické znázornenie.

Abstract. The subject of this paper are algebraic surfaces named Weberian surfaces which represent loci of points with a constant sum of distances to foci and directorial planes. Algebraic equations are given for two types of these surfaces, as well as their graphical representations.

Kľúčové slová: ohniská, riadiace roviny, množina bodov, algebrické plochy v 3D

Keywords: foci, directorial planes, locus of points, algebraic 3D surfaces

Späť