The curves of Eduard Lehr

Krivky Eduarda Lehra

Péter Salvi

Department of Control Engineering and Information Technology
Budapest University of Technology and Economics
Műegyetem rkp. 3., H-1111 Budapest, Hungary e-mail: @iit.bme.hu
e-mail: salviiit.bme.hu

Abstrakt. Trieda kriviek, ktorých krivost je goniometrickou funkciou dlžky oblúka, sa pocas minulého storocia mnohokrát objavovala v rôznych kontextoch. Ako prvý sa jej štúdiu venoval Eduard Lehr v relatívne neznámej práci. Vzhladom na obnovený záujem o túto problematiku v oblasti estetických kriviek [8], zhrnieme v tomto clánku jej najdôležitejšie výsledky.

Abstract. The class of curves whose curvature is a trigonometric function of the arc length has appeared multiple times in the last century, in different contexts. It was first studied by Eduard Lehr, in a relatively obscure work. Due to renewed interest in it within the field of aesthetic curves [8], we summarize its most important results in this paper.

Kľúčové slová: estetické krivky, trig-estetické krivky, elastika

Keywords: aesthetic curves, trig-aesthetic curves, elastica

Späť

MST-based clustering for curve and surface reconstruction

Klastrovanie na báze MST pre rekonštrukciu kriviek a plôch

Šárka Voráčová

Katedra aplikované matematiky
Fakulta dopravní ČVUT v Praze
Na Florenci 25, 110 00 Praha, Česká republika
e-mail: sarka.voracovacvut.cz

Abstrakt. Problém minimálneho kostrového stromu (MST) bol v literatúre spomenutý už v roku 1926, čo z neho robí jeden z najstarších a najdôkladnejšie skúmaných problémov v oblasti výpočtovej geometrie. Okrem svojho trvalého teoretického a algo-ritmického významu má MST široké uplatnenie pri riešení mnohých praktických úloh analýzy dát, ako aj pri segmentácii obrazu a rekonštrukcii kriviek a plôch. V tomto článku predstavujeme metódy na rekonštrukciu kriviek a plôch pomocou algoritmu euklidovského MST, ktorý môže zabezpečiť, že rekonštruovaná krivka bude efektívna z hľadiska konektivity a vzdia-lenosti.

Abstract. The Minimum Spanning Tree problem has been referenced in the literature as early as 1926, making it one of the oldest and most thoroughly studied problems in computational geometry. Alongside its enduring theoretical and algorithmic appeal, the MST is valuable for addressing numerous practical data analysis problems as well as image segmentation and reconstruction of the curve and surfaces.
In this paper, we present curve and surface reconstruction methods using the Euclidean MST algorithm. The MST can help ensure that the reconstructed curve is efficient in terms of connectivity and distance.

Klíčová slova: euklidovský minimálny kostrový strom, rekonštrukcia kriviek, rekonštrukcia plôch, zhlukovanie

Keywords: Euclidean Minimum Spanning Tree, Curve reconstruction, Surface reconstruction, Clustering

Späť

Pedal curves – a playground for generalizations

Úpätnice – ihrisko pre zovšeobecňovanie

Gunter Weiss

University of Technology Vienna
Austria University of Technology Dresden, Germany
e-mail: weissguntergmx.at

Abstrakt. Primárne téma ,,úpätnicové krivky a plochy” patrí do klasickej diferenciálnej geometrie euklidovskej roviny alebo priestoru. Zostrojujeme priesečníky dotyčníc krivky c s kolmými priamkami istého zväzku. Pre tento základný koncept však existuje neuveriteľné množstvo rôznych modifikácií a zovšeobecnení a je široko používaný v základných kurzoch matematiky ako aplikácia rôznych oblastí geometrie a matematiky. Okrem didaktických prínosov tohto učebného materiálu možno stojí za zmienku poukázať aj na kľúčové stratégie výskumu v geometrii/ matematike, stratégiu zovšeobecňovania a zjednocovania. Tu sa projektívne geometrické hľadisko javí ako veľmi užitočné. Článok sa snaží poskytnúť prehľad o existujúcich zovšeobecneniach a tiež pridáva niektoré ďalšie.

Abstract.Primarily the topic “pedal curves and surfaces” belongs to classical differential geometry in the Euclidean plane or space. One intersects the tangents of a curve c with orthogonal lines of a pencil. Meanwhile, for this basic concept there exist incredible many modifications and generalizations, and it is widely used in undergraduate mathematics courses as an application of different parts of geometry and mathematics. Besides the didactical benefits of such an exercise material it might be worth pointing to a key strategies for geometric/ mathematical research, the generalization strategy and the unifying strategy. Here the projective geometric point of view seems very helpful. The paper tries to give an overview of existing generalizations and adds some additional ones.

Späť