On homogeneous 3-geometries, balls and their optimal arrangements, especially in Nil and Sol spaces

O homogénnych geometriách trojrozmerného priestoru, guliach a ich optimálnom usporiadaní špeciálne v Nil a Sol priestoroch

¹Emil Molnár, ²Jenö Szirmai

Budapest University of Technology and Economics, Institute of Mathematics, Department of Geometry
Müegyetem rkp. 3., H-1111 Budapest, Hungary
^1,2e-mail: emolnarmath.bme.hu, szirnaimath.bme.hu

Abstract. János BOLYAI and – independently, in the same time (about 1823-1840) – Nikolay I. LOBACHEVSKY discovered the so called hyperbolic geometry that opened new development in many fields of Mathematics, Physics and the whole science. Nowadays we know 8 homogeneous 3-geometries (called also THURSTON geometries, see Table 1) applicable also for describing our surrounding space and material structures. In the sense of Felix KLEIN, projective geometry provides us with a unified method to model and visualize these geometries, initiated by the first author. The second author extended these for describing extremal problems of so-called discrete geometry in the sense of László FEJES TÓTH. As illustration we discuss here Nil and Sol geometry in more details. The first one is near the Euclidean space, the second strange Sol space has some analogies with the LORENTZ-MINKOWSKI space-time.

Abstrakt. János Bolyai a – nezávisle v tom istom case (v rokoch 1823-1840) – Nikolaj I. Lobacevskij objavili hyperbolickú geometriu, ktorá umožnila rozvoj mnohých oblastí matematiky, fyziky a celej vedy. Dnes poznáme 8 homogénnych geometrií priestoru (nazývaných aj Thurstonove geometrie, pozri Tab. 1) vhodné tiež na opis nášho priestoru a materiálnych štruktúr. V zmysle teórie Felixa Kleina, projektívna geometria nám poskytuje jednotiacu metódu na modelovanie a vizualizáciu týchto geometrií, ktorú rozpracoval prvý autor clánku. Druhý autor tieto úvahy rozšíril na opis extremálnych problémov tkzv. diskrétnych geometrií v zmysle Lászla Fejesiho Tótha. Ako ilustráciu v tomto clánku rozoberieme detailne Nil a Sol geometrie. Prvá má blízko k euklidovskému priestoru, druhá zvláštna geometria Sol priestoru má isté analógie s Lorentzovým-Minkowského casopriestorom.

Kľúčová slová: Thurston geometries, Nil geometry, Sol geometry, optimal ball packing

Keywords: Thurstonova geometria, Nil geometria, Sol geometria, optimálne rozmiestnenie gúľ

Späť

Objavia sa Euklidove Základy (konečne v slovenčine) na knižničnom trhu v roku 2022?

Will Euclid’s Elements appear (finally in Slovak language) at the book market in the year 2022?

Zita Sklenáriková

Bakošová 22, 841 03 Bratislava, Slovenská republika
e-mail: sklenarikovazita80gmail.com

Abstrakt. Výnimočná a už dlhšie očakávaná publikácia prekladu Euklidových Základov mala vyjsť na jeseň 2021 vo vydavateľstve Perfekt a. s. Dielo je výsledkom viacročnej práce profesora Jána Čižmára, PhD. na preklade originálneho textu, ako aj na vypracovaní komentárov, ktoré sú neoddeliteľnou časťou diela tým, že významne uľahčujú pochopenie textu v dnešnom výklade (hlavne pokiaľ ide o terminológiu).
Ide o najvýznamnejšie dielo starovekej matematiky, ktoré okolo roku 300 pred n. l. vytvoril grécky učenec Euklides pôsobiaci vo vrcholnej vedecko-umeleckej inštitúcii Museion v Egyptskej Alexandrii.
Dielo je prvou historicky úspešnou realizáciou Aristotelovej koncepcie výstavby vedeckej teórie špeciálnej vedy. Je
systematickým zachytením celej súdobej vedeckej matematiky spracovanej axiomaticko-deduktívnou metódou.

Abstract. An exceptional and a long time expected translation of the Euclid’s Elements was to be published last autumn by the publishing house Perfekt, a. s. The translation and the commentaries were elaborated by professor Ján Čižmár who spent several years on the preparation of this work. The commentaries represent an indispensable component of the complete translation as they significantly facilitate understanding of the original text in today’s terminological explanation.
The Elements are the most famous and significant work of the ancient mathematics composed about 300 BC by Greek scholar Euclid – a notable scientist, teacher and author in the top scientific-artistic institution Museion in Egyptian Alexandria.
The work is the first historically successful completion of the Aristotelian concept of a scientific theory in a particular science. It provides a systematic survey of all contemporary scientific mathematics treated by the axiomatic-deductive method. 

Kľúčové slová: Euklidove Základy, axiomaticko-deduktívna metóda výstavby vedeckej teórie

Keywords: Euclid’s Elements, axiomatic-deductive method

Späť

Využitie dynamickej geometrie transformačným spôsobom

On utilisation of dynamic geometry in transformation mode

Jana Trgalová

INSPE, S2HEP (UR4148), University Claude Bernard Lyon 1
5 rue Anselme, 69004 Lyon, France
e-mail: jana.trgalovauniv-lyon1.fr

Abstrakt. V 80-tych rokoch, s nástupom digitálnych technológií do vzdelávania, bolo používanie počítačov postavené do protikladu v dvoch metaforách: v metafore zosilnenia (amplifier metaphor) technológia umožňuje vykonávať tradičné úlohy rýchlejšie, efektívnejšie a presnejšie, zatiaľ čo v metafore reorga-nizácie (reorganizer metaphor) technológia kvalitatívne mení obsah a kognitívne procesy zapojené do riešenia problémov. V tomto článku na príklade dynamickej geometrie ilustrujeme rôzne spôsoby, ako možno použiť digitálne technológie, s odkazom na model SAMR. Zamerajúc sa na funkciu presúvania (drag mode), kľúčovú vlastnosť systému dynamickej geometrie, zdôrazňujeme rôzne použitia a zodpovedajú-ce matematické konceptualizácie. Na záver uvádzame niekoľko dôsledkov, ktoré odhaľujú výzvy, ktorým čelia učitelia matematiky pri používaní digitálnych technológií.

Abstract. In 1980s, with the uptake of digital technology in education, the use of computers was contrasted in two metaphors: in the amplifier metaphor, technology allows performing traditional tasks faster, more efficiently and accurately, whereas in the reorganizer metaphor, technology qualitatively changes the content and the cognitive processes engaged in problem solving. In this paper, we take dynamic geometry as an example of digital technology to illustrate various ways in which it can be used, referring to the SAMR model. Focusing on the dragging functionality, the pivotal feature of dynamic geometry system, we highlight a variety of uses and the corresponding mathematical conceptualizations. We conclude with some implications bringing to light challenges that mathematics teachers face with the use of digital technologies.

Klíčové slová: digitálne technológie, výuka matematiky, dynamická geometria, model SAMR

Keywords: digital technology, mathematics education, dynamic geometry, SAMR model

Späť